数是数学研究的基石，亦是理解自然现象的基础。实数由零测度的有理数集和满测度的无理数集共同构成。由此推断，无理数起主导作用的体系理应更为普遍。然而，由于计算机难以存储和表示无理数，在对无理数起主导作用体系进行数值计算时会产生丢番图误差，即有理数逼近无理数之误差。这类误差会对计算结果正确性起决定性影响。在本报告中，我们将分析丢番图误差机理及其对数值计算的影响，建立任意维丢番图频率准周期函数的逼近理论；进而提出能避免丢番图误差的新型算法–投影法和有限点恢复法；利用无理数的遍历性和算术性质，建立算法的数学理论，将高精度数值计算的范围从有理数域拓展到实数域。我们还将探讨这些算法的适用范围，并将所发展的方法用于研究几类无理数起主导作用的体系，包括准晶及其相变、准周期薛定谔算子、晶界等。